Préparation Education Fellow UM6P

année 2023-2024

Modélisation et Méthodes Numériques

Algèbre linéaire

Calcul différentiel

Université Mohammed VI Polytechnique

Laurent Dumas (cours, TD et TP)

Archives : année 2019-2020, année2020-2021 année2021-2022 année2022-2023

Descriptif:

L'objetif de ce cours (comprenant des séances complémentaires de TD et de TP à effectuer en autonomie) est de présenter :


  1. les principes de modélisation mathématique ainsi que les méthodes de résolution numérique associées

  2. le programme d'écrit en algèbre linéaire

  3. le programme d'écrit relatif au calcul différentiel et aux équations différentielles


Contenu:

Séance 1 (distanciel, 13/09): algèbre linéaire : tableau numérique

    1. Espaces vectoriels

    2. Morphismes

    3. Bases

Séance 2 (distanciel, 13/09): interpolation de Lagrange : tableau numérique

    1. Existence et unicité du PIL

    2. Algorithme de construction

    3 Implémentation Python

    4. Compléments mayhématiques

Séance 3 (distanciel, 14/09): algèbre linéaire : tableau numérique

    1. Matrices

    2. Rang et trace

    3. Déterminant

    4. Comatrice et méthode de Cramer

Séance 4 (distanciel, 15/09) résolution de systèmes linéaires par Gauss : tableau numérique

    1. Description de la méthode

    2. Justification mathématique

    3. Coût et robustesse

    4. Implémentation Python

    5. Notion de conditionnement

Séance 5 (distanciel, 18/09): résolution de systèmes linéaires, méthodes de factorisation : tableau numérique

    1. Factorisation LU

    2. Factorisation de Cholesky

    3. Factorisation QR

Séance 6 (distanciel, 26/09):  tableau numérique,

    1. Méthodes itératives. Théorèmes de Picard

    2. Méthode de Newton

    3. Autres méthodes

Séance 7 (distanciel, 05/10): bases du calcul différentiel tableau numérique

    1. Différentiabilité

    2. Cas de la dimension finie

    3. Théorème des accroissements finis

    4. Régularité, fonctions C^k

    5. Formules de Taylor

    6. Conditions d'optimalité

    7. Fonctions convexes

Séance 8 (distanciel, 13/10): calcul différentiel, compléments tableau numérique

    1. Exercices

    2. Théorème d'inversion locale

    3. Théorème des fonctions implicites

Séance 9 (distanciel, 18/10): résolution de systèmes linéaires, méthodes itératives tableau numérique

    1. Normes de matrices, rayon spectral

    2. Principe général des méthodes itératives

    3. Méthodes de Jacobi et Gauss Seidel

    4. Autres méthodes

Séance 10 (distanciel, 26/10): algèbre linéaire, réduction d'endomorphismes tableau numérique

    1. Définitions et premières propriétés

    2. Premiers critères de réduction

    3. Polynômes d'endomorphismes

    4. Théorème de Cayley Hamilton

    5. Nouveaux critères de diagonalisabilité

Séance 11 (distanciel, 08/11): équations différentielles : théorie tableau numérique

    1. Existence et unicité, espace des solutions

    2. Etudes de certains cas particuliers

Séance 12a (distanciel, 10/11): équations différentielles linéaires: théorie tableau numérique

    1. Lemme de Gronwall et conséquences

    2. Un résultat d'existence et d'unicité locale

    3. Le théorème de Cauchy Lipschitz

    4. Cas particulier des systèmes dynamiques

Séance 12b (distanciel, 10/11): notions de géométrie différentielle tableau numérique

    1. Sous variétés : définitions équivalentes

    2. Espace tangent

    3. Extrema liés

Séance 13 (distanciel, 01/12) : décomposition de Dunford et applications tableau numérique

    1. Espaces caractéristiques

    2. Projecteurs spectraux

    3. Décomposition de Dunford

    4. Décomposition de Jordan

    5. Applications


Séances 14, 15 : (présentiel, 06/12) : recherche numérique d'éléments propres

tableau similaire, complément Leslie


Séances 15, 16 : (présentiel, 07/12) : calcul approché d'intégrales

tableau similaire


Séances 17, 18 : (présentiel, 08/12) : résolution numérique d'EDO

tableau similaire 1 tableau similaire 2


Séance 19 (distanciel, 12/01) : exercices de calcul différentiel (IL et FI) tableau numérique


Séance 20 (distanciel, 26/01) : exercices autour de 2 théorèmes (Picard et CL) tableau numérique


Séances 21, 22 : (présentiel, 31/01) : résolution d'EDO avec conditions aux limites


Séances 23, 24 : (présentiel, 01/02) : révisions EDO linéaires


Séances 25, 26 : (présentiel, 02/02) : révisions algèbre linéaire


Séance 27 (distanciel, 03/04)

Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents (Sokaina)

Modèlisation mathématique de dépollution de lac (Alham)


Séance 28 (distanciel, 10/04)

Equations différentielles linéaires. Systèmes d'EDO linéaires. Exemples et applications (Mohand)

Analyse mathématique du phénomène de conduction thermique dans une barre métallique (Ilyass)


Séance 29 (distanciel, 17/04)

Endomorphismes diagonalisables en dimension fini (Said)

Interpolation et krigeage (Mohammed)


Séance 30 (distanciel, 26/04)

Exponentielle de matrices. Exemples et Applications (Abderrhamane)

Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques (Zouhir)



Séance 31 (distanciel, 30/04)

Problème de côntrole et transfert de chaleur dans un tube (Mohand)

Optimisation de réseaux d'antennes (Alham)


Séance 32, 33 (présentiel, 15/05)

Modélisation de l’impact de la publicité sur une population de consommateurs (Said)

Evolution du front consomé d'une flamme (Abderrhamane)


Séance 34, 35 (présentiel, 16/05)

Modélisation d'une chaine d'ADN (Mohand)

Modèle de transport diffusion réaction d’anticorps dans une tumeur (Ilyass)


Séance 36, 37 (présentiel, 17/05)

Matrices équivalentes. Matrices semblables. Exemples et applications. (Mohammed)

Modélisation de l’action d’un médicament sous forme d'un problème à retard (Said)


Enoncés de TD/TP:

A chaque séance correspondra un TD/TP à faire pour la semaine suivante et qui sera corrigé en classe.

TD 1 : algèbre linéaire et interpolation

TD 2 : résolution de systèmes linéaires

TD 3 : résolution de systèmes linéaires : méthodes de factorisation

TD 4 : résolution de systèmes non linéaires

TD 5 : calcul différentiel

TD 6 : résolution de systèmes linéaires (méthodes itératives)

TD 7 : algèbre linéaire (extrait sujet écrit)

TD 8: méthodes de quadrature (énoncé, correction Ex. 1,2,3, correction Ex. 4,5,6 correction vidéo partie 1, correction vidéo partie 2)

TD 9 : méthodes d 'Euler: énoncé ,correction

TD 10 : méthodes générales à un pas: énoncé, correction

TD 11 : résolution d'EDO avec conditions aux limites (énoncé)

TD 12 : révisions en algèbre linéaire (énoncé)

Scripts Python:

Script 1 : interpolation de Lagrange

Script 2 : méthode du pivot de Gauss

Script 3 : méthode de Newton

Script 4 : méthodes de Jacobi et Gauss Seidel

Script 5 : méthode de Jacobi (recheche de valeurs propres)

Script 6 : méthodes de quadrature

Script 7 : méthode d'Euler


Polys de cours (issus de mon livre):

poly de cours interpolation

poly de cours systèmes non linéaires

poly de cours algèbre linéaire

poly de cours quadrature et EDO


Textes de modélisation

Plusieurs textes de modélisation posés lors de sessions précédentes, seront particulièrement étudiés :

Texte 1  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leontieff (sujet, video)

Texte 2  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leslie (sujet, video, script niveau 1, script niveau 2, script niveau 3)

Texte 3 (Algèbre linéaire) : la matrice de Google (sujet, video)

Texte 4 (Algèbre linéaire) : requête bibliographique (sujet, video)

Texte 5 (sysètmes non linéaires) : le GPS (sujet, video)

Texte 6 (calcul différentiel et optimisation) : un état d'équilibre en chimie (sujet, script Python)

Texte 7 (EDO) : modèle de Volterra (sujet, script Python)

Texte 8 (EDO) :poids suspendu à une corde (sujet, script niveau 1, script niveau 3, video)

Texte 9 (EDO) :résonance d'un pendule (sujet, script niveau 3)

Texte 10 (Algèbre linéaire) :compression d'un signal par SVD (sujet)


Bibliographie:

Un certain nombre d'ouvrages sont recommandés pour les différents thèmes abordés.

Les liens officiels suivants sont également à consulter :