Analyse fonctionnelle 2 (MSMA721), UVSQ

Cours/TD ANALYSE FONCTIONNELLE 2 (MSMA721)

Université Versailles Saint Quentin en Yvelines
Master de Mathématiques Fondamentales

Laurent Dumas

Archives : année 2010-2011

Dans ce cours, on étudie les aspects fondamentaux des espaces de Banach et les théorèmes principaux qui sont indispensables dans bon nombre d'applications (équations aux dérivées partielles, modélisation).
On étudiera également l'analyse spectrale des opérateurs dans le cadre des espaces de Hilbert.

Contenu:

1. Espaces de Banach et théorèmes fondamentaux
1.1 Rappels et compléments sur les espaces vectoriels normés, espaces de Banach, applications linéaires continues.
        1.1.1 Définitions
        1.1.2 Applications linéaires
        1.1.3 Sous ev
       1.1.4 Espaces de Banach
        1.1.5 Le cas de la dimension fini
1.2 Espace des applications continues
        1.2.1. Définitions
        1.2.2 Equicontinuité
        1.2.3 Le théorème d'Ascoli
        1.2.4 Le théorème de Stone Weierstrass
1.3 Les grands théorèmes de l'AF
        1.3.1 Lemme de Baire
        1.3.2 Théorème de Banach Steinhaus
        1.3.3 Théorème de l'application ouverte
        1.3.4 Théorème du graphe fermé
        1.3.5 Théorèmes de Hahn Banach (forme analytique et géométrique)

2. Convergence faible dans les espaces de Hilbert

2.1 Rappels sur les espaces de Hilbert
2.2 Orthogonalité dans les espaces préhilbertiens
2.3 Projection orthogonale
2.4 Deux résultats importants dans les espaces de Hilbert
2.5 Bases Hilbertiennes et espaces séparable
2.6 Convergence faible

3. Opérateurs et décomposition spectrale des opérateurs bornés
3.1 Opérateurs compacts dans un Hilbert.
3.2 Adjoint
3.3 Alternative de Fredholm
3.4 Spectre d'un opérateur compact autoadjoint
3.5 Exemples
3.5.1 Opérateurs de Hilbert Schmidt (cas particulier dans L2)
3.5.2 Opérateurs de Sturm Liouville (cas particulier du laplacien)

Emploi du temps:

Mardi 13 septembre 2011, 9h45-13h (cours et TD) : espaces vectoriels normés (§ 1.1)
Vendredi 16 septembre 2011, 13h30-15h (TD): énoncé TD1
Mardi 20 septembre 9h45-13h (cours et TD) : espaces de fonctions continues (§ 1.2)
Vendredi 23 septembre 13h30-15h (TD): énoncé TD2
Mardi 27 septembre 9h45-13h (cours et TD) : Lemme de Baire, th. de Banach Steinhaus (§ 1.3)
Vendredi 30 septembre 13h30-15h (TD): énoncé TD3
Mardi 4 octobre 9h45-13h (cours et TD) : th. de Hahn Banach (§ 1.3)
Vendredi 7 octobre 13h30-15h (TD): énoncé TD 4
Mardi 11 octobre 9h45-13h (cours et TD) : espace de Hilbert
Vendredi 14 octobre 13h30-15h (TD): énoncé TD5
Mardi 18 octobre 9h45-13h (cours et TD) : espace de Hilbert (§2.4 et 2.5)
Vendredi 21 octobre 8h-9h30 (TD): énoncé TD6
Mardi 25 octobre 9h45-13h (TD) : énoncé TD7 (révisions)
Vendredi 04 novembre 13h30-15h: examen CC (énoncé)
Mardi 8 novembre 9h45-13h : convergence faible (§2.6), énoncé TD8
Vendredi 11 novembre 13h30-15h: pas de cours, remplacé le vendredi 16/12
Mardi 15 novembre 9h45-13h : opérateurs compacts (§3.1, 3.2)
Vendredi 18 novembre 13h30-15h: opérateurs compacts, énoncé TD9
Mardi 22 novembre 9h45-13h : opérateurs compacts (§3.3, 3.4)
Vendredi 25 novembre 13h30-15h: opérateurs compacts, énoncé TD 10
Mardi 29 novembre 9h45-13h : opérateurs compacts, exemples (§3.5)
Vendredi 2 décembre 13h30-15h: opérateurs compacts, exemples, énoncé TD 11
Mardi 6 décembre13h30-15h: opérateurs compacts, exemples (§ 3.5)