L'objectif de ce T.P. est de se familiariser à la manipulation des différentes instructions de construction et d'étude de systèmes linéaires à travers l'exemple de la résolution de l'équation de Laplace en dimension 2 sur un carré  par une méthode de différences finies.

1. Construction de matrices

EXERCICE 1: construire par concaténation à l'aide de la matrice ones la matrice de Vandermonde d'un vecteur colonne c.

EXERCICE 2: construire à l'aide des matrices eye, zeros et toeplitz, la matrice de discrétisation par différences finies en N*N points du Laplacien sur [0,1]*[0,1] (avec conditions de Dirichlet).
 

2. Rang exact et effectif d'une matrice

EXERCICE 3: étudier en fonction de n le rang numérique (instruction rank) et le conditionnment (cond) d'une matrice de Hilbert. Essayer de résoudre un système linéaire du type Hu=b avec les instructions \, linsolve et  pinv.
 

3. Rayon spectral associé aux méthodes itératives

EXERCICE 4: calculer le rayon spectral associé aux méthodes de Jacobi, Gauss Seidel, du gradient optimal et de relaxation, pour la matrice du Laplacien discrétisé de l'exercice 1.
 

4. Application

EXERCICE 5: résoudre l'équation de Laplace avec conditions de Dirichlet sur [0,1]*[0,1] par une méthode directe ou itérative.

 
solution exercice 2 (il s'agit d'une fonction à utiliser aussi dans les exercices suivants)

solution exercice 3 (programme, fonction):
 

solution exercice 4 (il s'agit d'une fonction)

solution exercice 5 (méthode directe, méthode itérative)