Les travaux réalisés ces dernières années portent sur différents problèmes tous issus des sciences de l'ingénieur (automobile, aéronautique, télécommunications, chimie, etc...) ou de la médecine. Ils sont abordés suivant les cas, dans un cadre mathématique abstrait ou appliqué.On peut distinguer principalement cinq grands thèmes:
Thème 1:
méthodes d'optimisation globale et applications
Thème
2: turbulence (écoulements diphasiques, méthodes
LES)
Thème 3:
modèles
de billards
Thème 4:
homogénéisation
d'équations cinétiques
Thème 5:
modélisation
des polymères semi-cristallins
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Thème 1: méthodes d'optimisation globale et
applications
Résumé: De nouvelles méthodes
d'optimisations
globales plus performantes que celles déjà existante
(gradient,
BFGS, algorithmes génétiques, ...) ont été
développées
et appliquées à des problèmes industriels
complexes.
Parmi ceux-ci ,on peut citer l'exemple de l'optimisation de formes
d'une
automobile. Dans un tel problème, on cherche à minimiser
une
certaine fonction coût (par exemple un coefficient
aérodynamique)
en fonction de variables de contrôle géométriques
(par
exemple les coordonnées de points définissant le profil
d'une
automobile). Les contraintes sur ce problème s'expriment
à
travers les variables aérodynamiques associées (celles-ci
doivent
vérifier une équation de type Navier Stokes) ou
directement
sur les points de contrôle. Dans le cadre d'un stage de DEA puis
d'une
thèse CIFFRE en partenariat avec Peugeot Citroën PSA, un
nouveau
modèle a été développé (couplant les
algorithmes
génétiques et les méthodes de descente ainsi
qu'une
procédure rapide d'évaluation approchée) et
validé
par des simulation en soufflerie. D'autres applications de ces
méthodes
hybrides ont déjà été effectuées
(optimisation
d'un réseau de Bragg avec Alcatel, optimisation d'un compresseur
haute
pression avec Snecma) ou sont en cours de réalisation
(optimisation
de la forme d'un stent).
Voir: page de présentation PSA/P6
, talk5, talk 6
Thème 2: turbulence (écoulements diphasiques,
méthodes
LES)
Résumé: le problème des
écoulements diphasiques turbulents a été
abordé dans un cadre industriel
avec les différents partenaires du programme Ariane 5. Il
s'agissait
de simuler numériquement le comportement des propulseurs
d'appoint
à poudre afin de modéliser les phénomènes
de
dépôt d'alumine et d'oscillations de poussée. On
est
en particulier amené à étudier le problème
du
transport et la diffusion de particules placées dans un
écoulement fortement turbulent à petite comme à
grande échelle. Pour cela, l'approche retenue a consisté
à coupler les deux phases par l'intermédiaire d'un
modèle k-epsilon et à développer un modèle
stochastique de suivi de particules. Plus
récemment, une réflexion a été
engagée dans le cadre d'un groupe de travail créé
à l'ASCI sur
la justification mathématique des méthodes de simulation
des
grandes échelles (par exemple la détermination du filtre
numérique
effectif dans de telles méthodes).
Voir: talk1 and talk2 on 2-phase flows
Résumé: Les problèmes de billard
correspondent à l'étude de systèmes dynamiques
associés au déplacement
de particules ponctuelles se réfléchissant à la
surface
d'obstacles sphériques disposés périodiquement.
Une
telle modélisation se retrouve dans de nombreux modèles
physiques,
en neutronique ou en photonique par exemple. L'objectif principal
consiste
alors à caractériser un régime asymptotique
atteint
après de nombreuses collisions à la manière des
limites
hydrodynamiques. L'approche choisie, différente de celle de
l'école
russe de Sinaï, est de type EDP et rajoute une
irréversibilité initiale au système dynamique en
incluant un effet d'accommodation lors de la réflexion sur les
obstacles. Moyennant cette hypothèse, des résultats
d'approximation par la diffusion ont pu être établis
en termes de convergence forte et pour tout réseau d'obstacles
(à
horizon fini ou non).
Voir: talk3 on billiards, 1er preprint LMENS 95, 2eme preprint LMENS 95
Thème 4: homogénéisation d'équations
cinétiques
Résumé: Les phénomènes physiques
régnant
dans les milieux fortement hétérogènes
(matériaux
composites, c'ur nucléaire) sont souvent très complexes
à
caractériser et à simuler numériquement. Afin de
déterminer
leurs propriétés macroscopiques équivalentes
(section
efficace en l'occurrence), on recourt aux méthodes
d'homogénéisation.
Celles-ci consistent à définir précisément
les
différentes échelles mises en jeu, à
modéliser
les grandeurs physiques significatives pour chaque échelle puis
à
en déduire un comportement simplifié au niveau
macroscopique.
L'ensemble de ces étapes a été
étudié
pour différentes modélisations du transport de particules
à
partir de l'équation linéarisée de
Boltzmann-Grad
: on montre que pour certains type de sections efficaces
(périodiques
ou aléatoires), le milieu fortement
hétérogène se comporte asymptotiquement de la
même façon mais avec des grandeurs
caractéristiques moyennées.
Voir: publication
SIAM 2000
Thème 5: modélisation des polymères
semi-cristallins
Résumé: dans le cadre de l'étude des polymères semi-cristallins (dont un modèle naturel est le fil d'araignée), un travail initialement numérique a été réalisé en collaboration avec Rhône-Poulenc. Il s'agissait dans un premier temps de retrouver le comportement de tels polymères (morphologie, courbe des contraintes) à partir d'un modèle connu, lorsqu 'on les soumet à une déformation longitudinale à taux constant. L'amélioration de l'algorithme numérique de simulation (se ramenant principalement à un problème de recherche de minimum d'une fonctionnelle fortement non linéaire et à très grand nombre de variables) est actuellement à l'étude ainsi que la dérivation d'un modèle macroscopique asymptotiquement équivalent.