Equations différentielles

et systèmes dynamiques (Semestre 8, Electif 10, année 2014)

Laurent DUMAS

Archives (cours sur un autre thème) : course 2009 , 2010 , 2011, 2012, 2013

Objectifs :

Après quelques rappels et compléments sur les équations différentielles (existence, unicité, methodes numériques), une introduction aux systèmes dynamiques sera proposée: systèmes linéaires ou non linéaires, functions de Lyapunov, sytèmes de flot gradient, systèmes hamiltoniens. Ce cours sera illustré par de nombreux exemples issus de différents domaines (physique, économie, biologie, etc…) et complété par des séances informatiques sur machine avec les logiciels Matlab et Scilab.

Enseignants : L . Dumas (Université de Versailles), T. Boulmezaoud (Université de Versailles)

Plan du cours :

Exemples d’introduction : Volterra, N corps, pendule

1. Résultats fondamentaux sur les EDO

(solutions maximales, globales, cylindre de sécurité, solution approchée d’Euler, théorème de Caucy-Peano, théorème de Cauchy Lipschitz local, global)

2. Etude des systèmes linéaires

2.1 Systèmes linéaires autonomes

2.2 Systèmes linéaires non autonomes. Résolvante et propriétés.

2.3 Cas de systèmes périodiques. Existence de solutions périodiques

3. Stabilité des solutions des EDO

3.1 Définition, exemples (pendule et Volterra)

3.2 Cas linéaire : stabilité d’un point d’équilibre

3.3 Cas de la dimension 2 (cas linéaire)

3.4 Stabilité de systèmes non linéaires. Approche locale et linéarisation

3.5 Fonctions de Lyapounov. Equation de Lyapounov

4. Calcul des variations

4.1 Exemples

4.2 Conditions d’optimalité. Equations d’Euler-Lagrange.

4.3 Conditions de transversalité

4.4 Cas convexe

4.5 Contrôle optimal : principe du maximum de Pontryagin.

5. Méthodes numériques de discrétisation

5.1 Notions de consistance, stabilité, convergence, ordre

5.2 Méthodes d’Euler implicite et explicite

5.3 Méthodes de Runge Kutta

5.4 Conditionnement

6 Problèmes aux limites

Travaux dirigés, TP :

TD/TP 1 : le modèle de Volterra (volterra.sci)

TD/TP 2 : pendule amorti/non amorti portrait de phase (pendule_ECP.sci)

TD/TP 3 : systèmes linéaires non autonomes

TD/TP 4 : annulé

TD/ TP5 : fonctions de Lyapounov. Equations de Lyapounov

TD/TP 6 : calcul de variations. Simulation du problème de N-corps (début du mini-projet 1)

TD/TP7 : méthodes numériques (euler-vs-RK-volterra .sci).

TD/TP 8: méthodes numériques (euler-exp-vs-imp.sci). Schémas symplectiques (sujet). Cas de l’agglomération d’hématies (début du mini-projet 2).

TD/TP 9 : calcul de variations. Simulation du problème de N-corps (fin du mini-projet)

TD/TP 10 : problèmes aux limites (énoncé)

TD/TP 11 : ver du bourgeon de l’épinette (corrigé)

Planning :

Jeudi 06 février 2014 (8h-11h15, LD) : Cauchy Lipschitz

Jeudi 20 février 2014 (8h-11h15, LD) : Systèmes dynamiques, stabilité, cas linéaire

Jeudi 27 février 2014 (8h-11h15 TZB) : Systèmes linéaires (suite)

Jeudi 06 mars 2014 (8h-11h15, TZB) : cours annulé

Jeudi 13 mars 2014 (8h-11h15, TZB) : Stabilité non linéaire, fonction de Lyapounov

Jeudi 20 mars 2014 (8h-11h15, TZB) : Calcul de variations 1

Jeudi 03 avril 2014 (8h-11h15, LD) : Méthodes numériques 1

Jeudi 10 avril 2014 (8h-11h15, LD) : Méthodes numériques 2

Jeudi 17 avril 2014 (8h-11h15, TZB) : Calcul de variations 2

Jeudi 22 mai 2014 (8h-11h15, LD) : problème aux limites

Mercredi 28 mai 2014 (14h-17h15, LD) : problème aux limites

Examen le mercredi 04 juin2014 (14h-17h) : sujet

References

Jean Pierre Demailly : « Analyse numérique des équations différentielles »

J.D. Murray « Mathematical Biology »

Frédéric Jean, Systèmes Dynamiques. Stabilité et Commande, Cours ENSTA: http://perso.ensta-paristech.fr/~fjean/Cours_enligne/AO102.pdf

M. Crouzeix et A. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson.

Henri Cartan, Calcul différentiel, Hermann

Emmanuel Trélat, Contrôle optimal , Théorie et applications,     Vuibert.