Equations différentielles

et systèmes dynamiques (Semestre 8, Electif 10, année 2016)

Laurent DUMAS

Tahar BOULMEZAOUD

Archives: course 2009 , 2010 , 2011, 2012, 2013 (cours sur un autre thème) , 2014, 2015

Objectifs :

Après quelques rappels et compléments sur les équations différentielles (existence, unicité, methodes numériques), une introduction aux systèmes dynamiques sera proposée: systèmes linéaires ou non linéaires, functions de Lyapunov, sytèmes de flot gradient, systèmes hamiltoniens. Ce cours sera illustré par de nombreux exemples issus de différents domaines (physique, économie, biologie, etc…) et complété par des séances informatiques sur machine avec les logiciels Matlab et Scilab.

Enseignants : L . Dumas (Université de Versailles), T. Boulmezaoud (Université de Versailles)

Plan du cours

1. Résultats fondamentaux sur les EDO

(solutions maximales, globales, cylindre de sécurité, solution approchée d’Euler, théorème de Cauchy-Peano, théorème de Cauchy Lipschitz local, global)

2. Etude des systèmes linéaires

(systèmes linéaires autonomes, systèmes linéaires non autonomes, résolvante et propriétés, cas de systèmes périodiques, existence de solutions périodiques)

3. Méthodes numériques de discrétisation

(3.1 Cadre général, 3.2 Méthodes à un pas, 3.3 Notions de consistance, stabilité, convergence, et ordre, 3.4 Méthodes d’Euler implicite et explicite, 3.5 Méthodes de Runge Kutta)

4. Systèmes dynamiques : stabilité

(définition, exemples, cas linéaire : stabilité d’un point d’équilibre, cas de la dimension 2, stabilité de systèmes non linéaires, approche locale et linéarisation, fonctions de Lyapounov)

Planning :

Jeudi 04 février 2016 (8h-11h15, LD) : Cauchy Lipschitz

Jeudi 11 février 2016 (8h-11h15, LD) : Méthodes numériques

Jeudi 18 février 2016 (8h-11h15, TZB) : Systèmes d’EDO linéaires

Jeudi 25 février 2016 (8h-11h15, LD) : Méthodes numériques

Jeudi 03 mars 2016 (8h-11h15, TZB) : Systèmes d’EDO linéaires

Jeudi 31 mars 2016 (8h-11h15, TZB) : Stabilité

Jeudi 07 avril 2016 (8h-11h15, TZB) : Calcul de variations

Jeudi 14 avril 2016 (8h-11h15, TZB) : compte rendu projet 1

Jeudi 12 mai 2016 (8h-11h15, LD) : Modèles en dynamique des populations

Jeudi 26 mai 2016 (8h-11h15, LD) : Problèmes aux limites

Jeudi 02 juin 2016 (8h-11h15, LD) : compte rendu projet 2

Examen le jeudi 9 juin2015 (14h-17h) sujet

Travaux dirigés, TP :

TD1 (Cauchy Lipschitz, méthodes numériques) ; TD1.pdf

TD2 (problèmes aux limites) ; TD2.pdf

Projets :

Projet 1 (TZB) : dépollution d’un lac

Projet 2 (LD) : Espèces en compétition

Examen 2016 : sujet

Programmes Scilab :

Implémentation de la méthode d’Euler explicite : ECP2015-euler1.sci, ECP2015-euler2.sci ou ECP2016_euler.m (Matlab)

Comparaison Euler/Heun/RK4/ode : ECP2016-volerra.sci

References

Jean Pierre Demailly : « Analyse numérique des équations différentielles »

J.D. Murray « Mathematical Biology »

Frédéric Jean, Systèmes Dynamiques. Stabilité et Commande, Cours ENSTA: http://perso.ensta-paristech.fr/~fjean/Cours_enligne/AO102.pdf

M. Crouzeix et A. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson.

Henri Cartan, Calcul différentiel, Hermann

Emmanuel Trélat, Contrôle optimal , Théorie et applications,     Vuibert.