Equations différentielles

et systèmes dynamiques  (Semestre 8, Electif 10, année 2015)
 
Laurent DUMAS

Tahar BOULMEZAOUD

 

Archives: course 2009 , 2010 , 2011, 2012, 2013 (cours sur un autre thème) , 2014

Objectifs :

Après quelques rappels et compléments sur les équations différentielles (existence, unicité, methodes numériques), une introduction aux systèmes dynamiques sera proposée: systèmes linéaires ou non linéaires, functions de Lyapunov, sytèmes de flot gradient, systèmes hamiltoniens. Ce cours sera illustré par de nombreux exemples issus de différents domaines (physique,  économie, biologie, etc…) et complété par des séances informatiques sur machine avec les logiciels Matlab et Scilab.

Enseignants : L . Dumas (Université de Versailles), T. Boulmezaoud (Université de Versailles)      

Plan du cours

            1. Résultats fondamentaux sur les EDO 

            (solutions maximales, globales, cylindre de sécurité, solution approchée d’Euler, théorème de Caucy-Peano, théorème de Cauchy Lipschitz local, global)

            2.  Méthodes numériques de discrétisation

            (notions de consistance, stabilité, convergence, ordre, méthodes d’Euler implicite et explicite, méthodes de Runge Kutta, schémas symplectiques)

            3.  Etude des systèmes linéaires

            (systèmes linéaires autonomes, systèmes linéaires non autonomes, résolvante et propriétés, cas de systèmes périodiques, existence de solutions périodiques)

            4.  Systèmes dynamiques : stabilité

            (définition, exemples, cas linéaire : stabilité d’un point d’équilibre, cas de la dimension 2, stabilité de systèmes non linéaires, approche locale et linéarisation, fonctions de  Lyapounov)

                       

Planning :

Jeudi 05 février 2015 (8h-11h15, TZB) : Cauchy Lipschitz

Jeudi 12 février 2015 (8h-11h15, LD) : Méthodes numériques 1

Jeudi 19 février 2015 (8h-11h15, LD) : Méthodes numériques 2

Jeudi 26 février 2015 (8h-11h15, TZB) :  EDO  linéaires

Jeudi 19 mars 2015 (8h-11h15, LD) : Systèmes dynamiques, stabilité, cas linéaire

Jeudi 26 mars 2015 (8h-11h15,  LD) : stabilité, cas non linéaire, projet 1 (résonance  d’un pendule)

Jeudi 02 avril 2015 (8h-11h15, TZB) :  problèmes aux limites

Jeudi 09 avril 2015 (8h-11h15, LD) : problèmes aux limites

Jeudi 07 mai 2015 (8h-11h15, LD) : 

Jeudi 28 mai 2015 (8h-11h15, TZB) :

Jeudi 04 juin 2015 (8h-11h15, TZB) :

Examen le mardi 09 juin2015 (14h-17h) sujet

 

 Travaux dirigés, TP :

TD/TP2 : méthodes d’Euler (convergence de la méthode d’Euler implicite et implémentation de la méthode d’Euler explicite : ECP2015-euler1.sci, ECP2015-euler2.sci)

TP3 : schémas symplectiques pour systèmes hamiltoniens: sujet agreg et pendule_symplectique.sci

TD4 : feuille d’exercice 1 et 2

TD5 : problèmes aux limites

TD/TP 6 : un modèle de réaction chimique

 

 Projets :

Projet 1 : résonance d’un pendule (ECP2015-projet1.pdf)

Projet 2 : méthode spectrale pour un problèmes aux limites  (ECP2015-projet2.pdf)

 

 Autres programmes Scilab :

Méthode de Runge Kutta d’ordre 4 vs méthode d’Euler : euler-vs-RK-volterra .sci

 

References 

Jean Pierre Demailly : « Analyse numérique des équations différentielles »

J.D. Murray « Mathematical Biology »

Frédéric Jean, Systèmes Dynamiques. Stabilité et Commande, Cours ENSTA: http://perso.ensta-paristech.fr/~fjean/Cours_enligne/AO102.pdf

M. Crouzeix et A. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson. 

Henri Cartan, Calcul différentiel, Hermann

Emmanuel Trélat, Contrôle optimal , Théorie et applications,     Vuibert.