Equations différentielles
et systèmes dynamiques
(Semestre 8, Electif 10, année 2015)
Laurent DUMAS
Tahar BOULMEZAOUD
Archives: course 2009 , 2010 , 2011, 2012, 2013 (cours sur un autre thème) , 2014
Objectifs :
Après
quelques rappels et compléments sur les équations différentielles (existence,
unicité, methodes numériques), une introduction aux systèmes dynamiques sera
proposée: systèmes linéaires ou non linéaires, functions de Lyapunov, sytèmes
de flot gradient, systèmes hamiltoniens. Ce cours sera illustré par de nombreux
exemples issus de différents domaines (physique, économie, biologie, etc…) et complété par des séances
informatiques sur machine avec les logiciels Matlab et Scilab.
Enseignants : L . Dumas (Université de
Versailles), T. Boulmezaoud (Université de Versailles)
Plan du cours
1.
Résultats fondamentaux sur les EDO
(solutions
maximales, globales, cylindre de sécurité, solution approchée d’Euler, théorème
de Caucy-Peano, théorème de Cauchy Lipschitz local, global)
2. Méthodes numériques de
discrétisation
(notions
de consistance, stabilité, convergence, ordre,
méthodes d’Euler
implicite et explicite, méthodes de Runge Kutta, schémas
symplectiques)
3. Etude des systèmes linéaires
(systèmes
linéaires autonomes, systèmes linéaires non autonomes, résolvante et
propriétés, cas de systèmes périodiques, existence de solutions périodiques)
4. Systèmes dynamiques : stabilité
(définition,
exemples, cas linéaire : stabilité d’un point d’équilibre, cas
de la dimension 2, stabilité de systèmes non linéaires, approche locale et linéarisation, fonctions
de Lyapounov)
Planning :
Jeudi 05 février 2015
(8h-11h15, TZB) : Cauchy Lipschitz
Jeudi 12 février 2015
(8h-11h15, LD) : Méthodes numériques 1
Jeudi 19 février 2015
(8h-11h15, LD) : Méthodes numériques 2
Jeudi 26 février 2015
(8h-11h15, TZB) : EDO linéaires
Jeudi 19 mars 2015
(8h-11h15, LD) : Systèmes dynamiques, stabilité, cas linéaire
Jeudi 26 mars 2015
(8h-11h15, LD) : stabilité,
cas non linéaire, projet 1 (résonance
d’un pendule)
Jeudi 02 avril 2015
(8h-11h15, TZB) : problèmes
aux limites
Jeudi 09 avril 2015
(8h-11h15, LD) : problèmes aux limites
Jeudi 07 mai 2015 (8h-11h15,
LD) :
Jeudi 28 mai 2015 (8h-11h15,
TZB) :
Jeudi 04 juin 2015
(8h-11h15, TZB) :
Examen le mardi 09
juin2015 (14h-17h) sujet
Travaux
dirigés, TP
:
TD/TP2 : méthodes d’Euler (convergence
de la méthode d’Euler implicite et implémentation de la méthode d’Euler
explicite : ECP2015-euler1.sci, ECP2015-euler2.sci)
TP3 : schémas symplectiques pour
systèmes hamiltoniens: sujet agreg et pendule_symplectique.sci
TD4 : feuille d’exercice 1 et 2
TD5 : problèmes
aux limites
TD/TP 6 : un
modèle de réaction chimique
Projets :
Projet 1 : résonance d’un pendule (ECP2015-projet1.pdf)
Projet 2 : méthode spectrale pour un
problèmes aux limites (ECP2015-projet2.pdf)
Autres
programmes Scilab
:
Méthode de Runge Kutta d’ordre 4 vs
méthode d’Euler : euler-vs-RK-volterra .sci
References
Jean Pierre Demailly : « Analyse
numérique des équations différentielles »
J.D. Murray « Mathematical
Biology »
Frédéric Jean,
Systèmes Dynamiques. Stabilité et Commande, Cours ENSTA: http://perso.ensta-paristech.fr/~fjean/Cours_enligne/AO102.pdf
M. Crouzeix
et A. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson.
Henri
Cartan, Calcul différentiel, Hermann
Emmanuel
Trélat, Contrôle optimal , Théorie et applications,
Vuibert.