Equations différentielles

et systèmes dynamiques (Semestre 8, Electif 10, année 2016)

Laurent DUMAS

Tahar BOULMEZAOUD

Archives: course 2009 , 2010 , 2011, 2012, 2013 (cours sur un autre thème) , 2014, 2015, 2016

Objectifs :

Après quelques rappels et compléments sur les équations différentielles (existence, unicité, methodes numériques), une introduction aux systèmes dynamiques sera proposée: systèmes linéaires ou non linéaires, functions de Lyapunov, sytèmes de flot gradient, systèmes hamiltoniens. Ce cours sera illustré par de nombreux exemples issus de différents domaines (physique, économie, biologie, etc…) et complété par des séances informatiques sur machine avec les logiciels Matlab et Scilab.

Enseignants : L . Dumas (Université de Versailles), T. Boulmezaoud (Université de Versailles)

Plan du cours

1. Etude des systèmes linéaires

(systèmes linéaires autonomes, systèmes linéaires non autonomes, résolvante et propriétés, cas de systèmes périodiques, existence de solutions périodiques, stabilité)

2. Résultats fondamentaux sur les EDO non linéaires

(solutions maximales, globales, théorème de Cauchy Lipschitz local, global)

3. Stabilité des EDO non linéaires

(définition, exemples, cas linéaire : stabilité d’un point d’équilibre, cas de la dimension 2, stabilité de systèmes non linéaires, approche locale et linéarisation, fonctions de Lyapounov)

4. Méthodes numériques de discrétisation

(4.1 Cadre général, 4.2 Méthodes à un pas, 4.3 Méthodes d’Euler implicite et explicite, 4.4 Notions de consistance, stabilité, convergence, et ordre, 4.5 Méthodes de Runge Kutta 4.6 Aspects numériques)

5. Problèmes aux limites

Planning :

Jeudi 02 février 2017 (9h45-13h, TZB) 

Jeudi 09 février 2017 (9h45-13h, TZB) 

Jeudi 16 février 2017 (8h-11h15, TZB) 

Jeudi 23 février 2017 (8h-11h15, TZB) 

Jeudi 02 mars 2017 (8h-11h15, TZB) 

Jeudi 16 mars 2017 (8h-11h15, LD)  Partie 4.1, 4.2 et 4.3 + TD (exam 2014)

Jeudi 30 mars 2017 (8h-11h15, TZB) 

Jeudi 06 avril 2017 (9h45-13h,, LD) Partie 4.4 et 4.5 + TD/TP

Jeudi 04 mai 2017 (9h45-13h, LD) Partie 4.5 et 4.6 + TD/TP + distribution projet 2

Jeudi 11 mai 2017 (9h45-13h,, LD) : Partie 5+ TD/TP + avancée projet 2

Jeudi 01 juin 2017 (9h45-13h,, LD) 

Examen le jeudi 8 juin2017, 8h-11h. : sujet

Travaux dirigés, TP :

TD 1: résolution numérique d’équations différentielles

TD2 : problèmes aux limites

Projets :

Projet 1 (TZB) : Modèle du prion

Projet 2 (LD) : schémas symplectiques (sujet)

Programmes Scilab :

Implémentation de la méthode d’Euler explicite : ECP2015-euler1.sci, ECP2015-euler2.sci ou ECP2016_euler.m (Matlab)

Euler implicite vs. Euler explicite : euler-exp-vs-imp.sci

Euler explicite vs Heun : euler-vs-Heun.sci

References

Jean Pierre Demailly : « Analyse numérique des équations différentielles »

J.D. Murray « Mathematical Biology »

Frédéric Jean, Systèmes Dynamiques. Stabilité et Commande, Cours ENSTA: http://perso.ensta-paristech.fr/~fjean/Cours_enligne/AO102.pdf

M. Crouzeix et A. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson.

Henri Cartan, Calcul différentiel, Hermann

Emmanuel Trélat, Contrôle optimal , Théorie et applications,     Vuibert.