Equations différentielles

et systèmes dynamiques  (Semestre 8, Electif 10, année 2017)
 
Laurent DUMAS

Tahar BOULMEZAOUD

Archives: course 2009 , 2010 , 2011, 2012, 2013 (cours sur un autre thème) , 2014, 2015, 2016, 2017

Objectifs :

Après quelques rappels et compléments sur les équations différentielles (existence, unicité, methodes numériques), une introduction aux systèmes dynamiques sera proposée: systèmes linéaires ou non linéaires, functions de Lyapunov, sytèmes de flot gradient, systèmes hamiltoniens. Ce cours sera illustré par de nombreux exemples issus de différents domaines (physique,  économie, biologie, etc…) et complété par des séances informatiques sur machine avec les logiciels Matlab et Scilab.

Enseignants : L . Dumas (Université de Versailles), T. Boulmezaoud (Université de Versailles)      

Plan du cours

          1.  Etude des systèmes linéaires

            (systèmes linéaires autonomes, systèmes linéaires non autonomes, résolvante et propriétés, cas de systèmes périodiques, existence de solutions périodiques, stabilité)

            2. Résultats fondamentaux sur les EDO non linéaires 

            (solutions maximales, globales, théorème de Cauchy Lipschitz local, global)

            3.  Stabilité des EDO non linéaires

            (définition, exemples, cas linéaire : stabilité d’un point d’équilibre, cas de la dimension 2, stabilité de systèmes non linéaires, approche locale et linéarisation, fonctions de  Lyapounov)

            4.  Problèmes aux limites (Lax Milgram, etc...)

            5. Calcul de variations : introduction (description du problème, équations d'Euler-Lagrange, conditions de transversalité. Cas convexe).

            6. Méthodes numériques de discrétisation

            (6.1 Cadre général, 6.2 Méthodes à un pas, 6.3 Méthodes d’Euler implicite et explicite, 6.4 Notions de consistance, stabilité, convergence, et ordre, 6.5 Méthodes de Runge Kutta  6.6 Aspects numériques)    

Planning :

Jeudi 01 février 2018 (8h30-11h45, TZB) 

Jeudi 08 février 2018 (8h30-11h45, TZB) 

Jeudi 15 février 2018 (8h30-11h45, TZB) 

Jeudi 22 février 2018 (8h30-11h45, TZB) 

Jeudi 01 mars 2018 (8h30-11h45,  TZB) 

Jeudi 08 mars 2018 (8h30-11h45, LD)  6.1 à 6.3

Jeudi 29 mars 2018 (8h30-11h45, LD)  6.4

Jeudi 05 avril 2018 (8h30-11h45, LD)  cours annulé

 Jeudi 12 avril 2018 (8h30-11h45,  LD) 

Jeudi 03 mai 2018 (8h30-11h45, LD) 

Jeudi 24 mai 2018 (8h30-11h45,  TZB) 

Examen le jeudi 31 mai 2018, 8h30-11h45 : énoncé

 Travaux dirigés, TP :

TD méthodes numériques de discrétisation d'EDO : énoncé

 Projets :

 Projet 1 au choix :

1. systèmes gradient
2. Fonctions de Lyapunov et stabilité
3. Modèles proie-prédateur. Equations de Lotka-Volterra.
4. Principe de maximum de Pontryagin en Contrôle optimal.
5. EDO semilinéaires de la forme u'' + g(u) = 0.

Projet 2 au choix :

1. Schémas symplectiques (sujet)
2. Espèces en compétition
3. Résonance d’un pendule (sujet)
4. Agglomération d’hématies (sujet).

 Programmes Scilab :

 Implémentation de la méthode d’Euler explicite : ECP2015-euler1.sci, ECP2015-euler2.sci   ou    ECP2016_euler.m (Matlab)

Implémentation de la méthode de Heun et comparaison avec Euler exercice 2

References 

Jean Pierre Demailly : « Analyse numérique des équations différentielles »

J.D. Murray « Mathematical Biology »

Frédéric Jean, Systèmes Dynamiques. Stabilité et Commande, Cours ENSTA: http://perso.ensta-paristech.fr/~fjean/Cours_enligne/AO102.pdf

M. Crouzeix et A. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles, Masson. 

Henri Cartan, Calcul différentiel, Hermann

Emmanuel Trélat, Contrôle optimal , Théorie et applications,     Vuibert.