MATHEMATIQUES ASSISTEES PAR ORDINATEUR(LSMA 350), année 2013

Université Versailles Saint Quentin en Yvelines
Licence de Mathématiques Fondamentales

Laurent Dumas (cours)

Eugenio Echagüe (TD)

Prérequis:

Ce module utilise un large éventail de connaissances en mathématiques abordées lors des semestres précédents ou en cours: suites et séries, généralités sur les fonctions (dérivées, développements limités,…), intégration, équations différentielles, algèbre linéaire (résolution de systèmes linéaires, calcul matriciel, changement de bases, applications linéaires, diagonalisation). Aucune connaissance informatique n’est requise.

Descriptif:

Le but de ce module est d’apprendre à utiliser l’ordinateur pour résoudre certains problèmes mathématiques abstraits (par exemple, diagonalisation d’un endomorphisme) ou concrets (par exemple, calculer la trajectoire d’un satellite). En effet, l’ordinateur peut utiliser dans certains cas des logiciels des logiciels de calcul numérique pour fournir des calculs approchés ou des logiciels de calcul formel pour fournir des calculs exacts, dans les deux cas beaucoup plus rapidement que ne peut le faire un humain. On apprendra ainsi à utiliser deux logiciels : Scilab (pour le calcul approché) et Maxima (pour le calcul formel). On distinguera et comparera si possible les méthodes de calcul approché et de calcul exact. Pendant le semestre, on présentera l’intérêt et l’efficacité des Mathématiques Assistées par Ordinateur mais aussi ses limites et ses pièges.

Contenu:

· Initiation à Scilab

· Méthodes de calculs approchés d’intégrales

· Méthodes de résolutions approchées d’équations non linéaires

· Méthodes de résolutions approchées d’équations différentielles ordinaires

· Méthodes de résolutions approchées de systèmes linéaires

·

· Initiation à Maxima

· Calcul formel pour la recherche de valeurs propres, le calcul de déterminant, le changement de bases et de manière générale la résolution d’exercices d’algèbre linéaire

· Calcul formel pour l’étude de fonctions, le calcul de développement limité, d’intégrales "simples"

· Calcul formel pour l’interpolation de fonctions.

· Calcul formel pour la résolution d’EDO

Cours:

Jeudi 12 septembre 11h30-13h00 (cours) : présentation de Scilab et méthodes de calcul approché d’intégrales (rectangles, point milieu, trapèzes)

Jeudi 19 septembre 11h30-13h00 (cours) : résolution approchée de systèmes d’équations (dichotomie, point fixe, Newton)

Jeudi 26 septembre 11h30-13h00 (cours) : résolution approchée d’équations différentielles (exemples : Bessel, Volterra, N corps, principe des méthodes à un pas)

Jeudi3 octobre 11h30-13h00 (cours) : résolution approchée d’équations différentielles (méthode d’Euler, preuve de convergence)

Jeudi 10 octobre 11h30-13h00 (cours): résolution approchée de systèmes linéaires (introduction et exemples : splines et membrane, méthodes de résolution, erreurs d’arrondis et conditionnement)

Jeudi 17 octobre 11h30-13h00 (cours) : résolution approchée de systèmes linéaires (algorithme de Gauss, stratégie de pivôt)

Jeudi 24 octobre 11h30-13h00 (cours) : présentation de Maxima, comparaison avec Scilab

Jeudi 7novembre 11h30-13h00 (cours) : algèbre linéaire et Maxima (changement de bases, réduction, puissance de matrices)

Jeudi 14 novembre 11h30-13h00 (cours) : analyse et Maxima (dérivées, intégrales, développements limités, étude de fonctions)

Jeudi 21 novembre 11h30-13h00 (cours) : interpolation de fonctions (Lagrange, phénomène de Runge)

Jeudi 28 novembre 11h30-13h00 (cours) : résolution exacte (ou approchée) d’EDO (cas linéaires, qq exemples non linéaires)

Jeudi 5 décembre 11h30-13h00 (cours) : révisions Scilab et Maxima

Examens 2013:

Examen : énoncé, corrigé Scilab, corrigé Maxima

Contrôle continu numéro 1 : énoncé

Contrôle continu numéro 2 : énoncé

Programmes Scilab et Maxima asociés au cours:

Calcul approché d’intégrales avec Scilab : trapezes_vs_rectangles.sci

Résolution de systèmes non linéaires avec Scilab : Newton_vs_dichotomie_vs_corde.sci

Résolution de systèmes linéaires avec Scilab : gauss.sci splines.sci, hilbert.sci, laplace.sci

Résolution d’EDO avec Maxima: correction-feuilleEDO-MA300.wxm

Travaux pratiques:

Séance 1 : initiation à Scilab et méthodes de quadrature énoncé TP1.pdf, énoncéTP1bis.pdf

Séance 2  : résolution de systèmes d’équations avec Scilab énoncé TP2.pdf

Séance 3 et 4 : résolution de systèmes d’équations différentielles avec Scilab énoncé TP3.pdf

Séance 5  : contrôle

Séance 6  : résolution de systèmes linéaires avec Scilab énoncé TP4.pdf

Séance 7  : révisions Scilab et introduction à Maxima énoncéTP5.pdf

Séance 8  : exercices d’algèbre linéaire avec Maxima énoncéTP6.pdf

Séance 9  : exercices d’analyse (énoncéTP7.pdf, corrigéTP7.wxm) et boucles avec Maxima énoncéTP7bis.pdf

Séance 10  : contrôle

Séance 11  : interpolation polynomiale (énoncéTP8.pdf, corrigé)

Séance 12  : révisions Scilab et Maxima (énoncéTP9.pdf)