Préparation Education Fellow UM6P

année 2019-2020

Modélisation et Méthodes Numériques

Université Mohammed VI Polytchnique

Laurent Dumas (cours, TD et TP)


Descriptif:

L'objetif de ce cours (comprenant des séance de TD et de TP) est de présenter les principes de modélisation en mathématique ainsi que les méthodes de résolution numérique associées.

Contenu:

Semaine 1 (du 16 au 21 septembre) : cycle d'harmonisation

Lundi 16 septembre : rappels et compléments d'algèbre linéaire

  1. Problèmes type en algèbre linéaire (EDP, modèle de Leontieff, matrice de Google)

  2. Topologie sur l'ensemble des matrices (normes subordonnées, rayon spectral)

  3. Résolution de systèmes et aspects numériques (dont Cramer et conditionnement)

  4. Problèmes aux valeurs propres

Mardi 17 septembre : interpolation de fonctions

  1. Interpolation de Lagrange (définition, algorithme des différences divisées, estimation d'erreur)

  2. Interpolation par splines cubiques (définition et algorithme)

  3. Autres méthodes d'interpolation (Bezier, krigeage)

Mercredi 18 septembre : approximation polynomiale de fonctions

  1. Théorèmes généraux (existence de la m.a.p., th. de Riesz sur un sev de DF)

  2. Approximation polynomiale en norme infinie (existence et unicité, équioscillation)

  3. Approximation polynomiale en norme quadratique (construction des polynômes orthogonaux)

  4. Familles de polynômes orthogonaux (Tchebychev, Legendre)

Jeudi19 septembre : rappels et complément de calcul différentiel et d'optimisation (à travers des exercices)

(différentielle, dérivées partielles, formules de Taylor, convexité, conditions d'optimalité, algorithme du gradient et de Newton)

Vendredi 20 septembre : TP Scilab/Python et étude de textes de modélisation (krigeage et chimie)


Semaine 2 (du 25 au 29 novembre) : modélisation et méthodes numériques en algèbre linéaire

Lundi 25 novembre : méthodes directes de résolution de systèmes linéaires

    1. Méthode de Gauss

    2. Factorisation LU, méthode de Cholesky

    3. Factorisation QR

Mardi 26 novembre : méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires

    1. Principe général

    2. Méthode de Jacobi

    3. Méthode de Gauss-Seidel et relaxation

    4. Méthode du gradient

Mercredi 27 novembre : TD, TP Scilab/Python, le laplacien discrétisé

Jeudi 28 novembre : méthodes de recherche de valeurs propres

    1. Conditionnement

    2. Méthode de la puissance

    3. Méthode de Jacobi

    4. Autres méthodes

Vendredi 29 novembre : problèmes aux moindres carrés et optimisation (méthode du gradient conjugué)


Semaine 3 : (du 20 au 24 janvier) : modélisation et méthodes numériques en analyse

Lundi 20 janvier : méthodes de quadrature

    1. Introduction

    2. Méthodes composées

    3. Méthodes de Gauss

    4. Autres méthodes (Romberg, Monte Carlo)

Mardi 21 janvier : résolution numérique d'équations différentielles

    1. Exemples

    2. Méthodes à un pas

    3. Méthodes d'Euler

    4. Aspects numériques

    5. Méthodes de Runge Kutta

    6. Problèmes aux limites

Mercredi 22 janvier : fin cours ED et TD, TP Scilab/Python problèmes aux limites

Jeudi 23 janvier : rendu copies DS4, travail sur textes de modélisation 

Vendredi 24 janvier : compléments en analyse (discrétisation équation de la chaleur et de Laplace) et restitution textes


Semaine 4 : (avril, à fixer) : préparation spécifique à l'oral


Textes de modélisation

Texte 1 (interpolation et approximation) : le krigeage (sujet)

Texte 2 (Calcul différentiel et optimisation) : un état d'équilibre en chimie (sujet)

Texte 3  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leontieff (sujet)

Texte 4  (Algèbre linéaire) : la matrice de Google (sujet)

Texte 5  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leslie (sujet)

Texte 6 (Algèbre linéaire) : requête bibliographique (sujet)

Texte 7 (équations différentielles) : dynamique de populations (sujet)

Texte 8 (équations différentielles) : trafic routier (sujet)

Texte 9 (équations différentielles) : réacteur biologique (sujet)

Texte 10 (équations différentielles) : globules rouges (sujet)

Texte 11 (équations différentielles) : systèmes hamiltoniens (sujet)


Enoncés de TD et TP:

TD 1 : Algèbre linéaire (énoncé)

TD 2 : Interpolation et approximation (énoncé)

TD 3 : Calcul différentiel et optimisation (énoncé)

TP 1 : Interpolation et résolution de systèmes non linéaires (énoncé)

TP 2 : Méthode du gradient à pas fixe (énoncé)

TD 4 : Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires (énoncé)

TD 5 : Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires (énoncé)

TP 3 : Le laplacien discrétisé (énoncé)

TD 6 : Méthodes de quadrature (énoncé)

TD 7 : Méthodes de résolution d'équations différentielles (énoncé)

TP 6 : Résolution d'équations différentielles (problème aux limites) (énoncé, énoncé détaillé, corrigé détaillé)


Programmes:

Résolution de systèmes linéaires (script Scilab)

Interpolation de Lagrange (script Scilab)

Interpolation par splines (script Scilab)

Texte 1: krigreage (script Scilab)

Texte 2 : chimie (script Scilab)

Le laplcien discrétisé en 1D (script Scilab)

Le laplacien discrétisé en 2D (script Scilab)

Texte 4: la matrice de Google (script Scilab)

Texte 5: le modèle de Leslie (script Scilab)

Texte 6: requête bibliographique (script Scilab)

Méthodes de quadrature (script 1, script 2)

Résolution numérique d'EDO (script 1, script 2)

Problème aux limites (script 1 : tir, script 2 : différences finies)

Texte 8 : trafic routier (script 1, script 2)

Texte 9 : réacteur biologique(script)

Texte 10 : globules rouges (script)

Texte 11 : systèmes Hamiltoniens (script)


Documents de cours:

Document de cours semaine 2 : algèbre linéaire numérique

Document de cours semaine 3 : analyse numérique


Bibliographie: