Cours/TD ANALYSE FONCTIONNELLE
2 (MSMA721)
Université Versailles Saint Quentin en Yvelines
Master de Mathématiques Fondamentales
Laurent Dumas
Dans ce cours, on étudie les aspects fondamentaux des espaces de Banach
et les théorèmes principaux qui sont indispensables dans bon nombre d'applications
(équations aux dérivées partielles, modélisation).
On étudiera également l'analyse spectrale des opérateurs dans le cadre des
espaces de Hilbert.
Contenu:
1. Espaces de Banach et théorèmes fondamentaux
1.1 Rappels et compléments sur les espces vectoriels normés, espaces de
Banach, applications linéaires continues.
1.1.1 Définitions
1.1.2 Applications linéaires
1.1.3 Sous ev
1.1.4 Espaces de Banach
1.1.5 Le cas de la dimension fini
1.2 Espace des applications continues, théorème d'Ascoli.
1.2.1. Définitions
1.2.2 Equicontinuité
1.2.3 Le théorème d'Ascoli
1.2.4 Le théorème de Stone Weierstrass
1.3 Les grands théorèmes de l'AF
1.3.1 Propriété de Baire
1.3.2 Théorème de Banach Setinhaus
1.3.3 Théorème de l'application ouverte
1.3.4 Théorème du graphe fermé
1.3.5 Théorèmes de Hahn Banach (forme analytique et géométrique)
2. Convergence faible dans les espaces de Hilbert
2.1 Rappels sur les espaces de Hilbert
2.2 Orthogonalité dans les espaces préhilbertiens
2.3 Projection orthogonale
2.4 Deux résultats importants dans les espaces de Hilbert
2.5 Bases Hilbertiennes et espaces séparable
2.6 Convergence faible
3. Opérateurs et décomposition spectrale des opérateurs bornés
3.1 Opérateurs compacts dans un Hilbert.
3.2 Adjoint
3.3 Alternative de Fredholm
3.4 Spectre d'un opérateur compact autoadjoint
3.5 Exemples
3.5.1 Opérateurs de Hilbert Schmidt
3.5.2 Opérateurs nucléaires
3.5.3 Opérateurs de Sturm Liouville
Emploi du temps:
Mardi 7 septembre 9h45-11h15 (cours)
: rappels et compléments sur les evn
Mercredi 8 septembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD1.pdf
Mardi 14 septembre 9h45-11h15 (cours)
: espace des applications continues
Mercredi 15 septembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD2.pdf
Mardi 21 septembre 9h45-11h15 (cours)
: les grands théorèmes de l'AF
Mercredi 22 septembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD3.pdf
Mardi 28 septembre 9h45-11h15 (cours)
: les grands théorèmes de l'AF
Mercredi 29 septembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD4.pdf
Mardi 05 octobre 9h45-11h15 (cours) : Espaces de Hilbert
Mercredi 06 octobre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD5.pdf
Mardi 12 octobre 9h45-11h15 (cours)
: Espaces de Hilbert (convergence faible)
Mercredi 13 octobre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD6.pdf
Mardi 19 octobre 9h45-11h15 (cours)
: Opérateurs compacts
Mercredi 20 octobre 13h30-16h45
(cours et TD): révision (
examen 2008
)
Mardi 2 novembre 9h45-11h15 (cours)
: Opérateurs compacts
Mercredi 3 novembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD8.pdf
+ PARTIEL 2010
Mardi 9 novembre 9h45-11h15 (cours) : spectre des opérateurs
compacts
Mercredi 10 novembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD9.pdf
+ corrigé partiel
Mardi 16 novembre 9h45-11h15
(cours) : spectre des opérateurs de Hilbert Schmidt
Mercredi 17 novembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD10.pdf
Mercredi 24 novembre 13h30-16h45
(cours et TD): énoncé-TD11.pdf
Mardi 30 novembre 9h45-11h15
(cours) : opérateurs de Sturm Liouville
Mardi 7 décembre 9h45-11h15 (TD)
: révisions
Mercredi 8 décembre 13h30-16h45
(TD) : énoncé-TD12.pdf
Examens 2010-2011:
partiel 2010
Examen 2010
, corrigé examen 2010
Archives:
partiel novembre 2006
partiel novembre 2007
examen-janvier 2005
examen-janvier 2006
examen-janvier 2007
examen janvier 2008