Préparation Education Fellow UM6P

année 2021-2022

Modélisation et Méthodes Numériques

Université Mohammed VI Polytchnique

Laurent Dumas (cours, TD et TP)

Archives : année 2019-2020, année2020-2021

Descriptif:

L'objetif de ce cours (comprenant des séance de TD et de TP) est de présenter les principes de modélisation en mathématique ainsi que les méthodes de résolution numérique associées.

Les séances se déroulent à distance et ont lieu

Les séances auront lieu sur Microsoft Teams.


Tableau séance 1 (plus poly de cours)

Tableau séance 2 (plus poly de cours)

Tableau séance 3

Tableau séance 4

Tableau séance 5

Tableau séance 6 (plus poly de cours)

Tableau séance 7

Tableau séance 8

Tableau séance 9

Tableau séance 10

Tableau séance 11 (plus poly de cours)

Tableau séance 12

Tableau séance 13

Tableau séance 14

Tableau séance 15


Contenu:

Séance 1: interpolation polynomiale de fonctions

    1. Interpolation de Lagrange. Définition

    2. Algorithme des différences divisées

    3. Erreur d'interpolation

Séance 2: résolution de systèmes nonlinéaires

    1. Méthodes itératives

    2. Méthode de Newton

    3. Autres méthodes

Séance 3 : Algèbre linéaire numérique : normes et conditionnement 

  1. Problème type en algèbre linéaire : la matrice du laplacien discret

  2. Normes de matrices

  3. Conditionnement d'une matrice

Séance 4 : Résolution de systèmes linéaires par une méthode directe : méthode de Gauss 

  1. Méthodes de Gauss

Séance 5 : Résolution de systèmes linéaires par une méthode directe : méthodes de factorisation 

  1. Factorisation LU

  2. Factorisation de Cholesky

  3. Factorisation QR

Séance 6 : Résolution de systèmes linéaires par une méthode directe : méthodes itératives

  1. Principe général

  2. Méthode de Jacobi et Gauss Seidel

  3. Autres méthodes

Séance 7 : Recherche d'éléments propres

  1. Conditionnement associé au système

  2. Méthode de Jacobi

  3. Méthode QR

  4. Méthode de Givens Householder

  5. Méthode de la puissance

Séance 8 : calcul approché d'intégrales

  1. Problème à résoudre

  2. Méthodes composée

  3. Méthodes de Gauss

Séance 9 : résolution d'EDO : méthodes d'Euler

  1. Introduction et notations

  2. Méthode d'Euler explicite

  3. Méthode d'Euler implicte

Séance 10 : résolution d'EDO : consistance, stabilité, converegence, ordre

  1. Rappel des notations

  2. Consistance, stabilité, convergence, ordre : définitions

  3. Consistance, stabilité, convergence, ordre : lien avec la fonction \Phi

  4. Exemples

Séance 11 : résolution d'EDO : méthodes d'ordre élevé

  1. Rappel des notations et propriétés

  2. Famille des méthodes de Runge Kutta

  3. Propriétés des méthodes de Runge Kutta

  4. Implémentation et exemples

Séance 12 : compléments en algèbre et analyse

  1. Problèmes aux moindres carrés

  2. Minimisation de fonctionnelles convexes

  3. Décomposition en valeurs singulières

Séance 13 : travail collectif sur le texte : réacteur biologique

  1. Présentation du modèle

  2. Nouvelles expressions du modèle

  3. Discrétisation

  4. Discussion

Séance 14 : travail collectif sur le texte : transport de particules

  1. Modélisation

  2. Partie mathématique

  3. Partie numérique

Séance 15 : travail collectif sur les textes: équation de la chaleur et vibration d'une corde

  1. Modélisation

  2. Partie mathématique

  3. Partie numérique

Séance 16 : présentation de leçons ou textes

  1. leçon d'analyse : transformation de Fourier

  2. leçon de modélisation : systèmes non linéaires

Séance 17 : présentation de leçons ou textes

  1. leçon d'algèbre : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de valeurs propres

  2. leçon de modélisation : résolution de systèmes linéaires

Séance 18 : présentation de leçons

  1. leçon d'analyse : suites récurrentes du type u(n+1)=f(u(n))

  2. leçon d'analyse : séries de Fourier

Séance 19 : présentation de leçons outextes

  1. leçon de modélisation : Appliquer et comparer des méthodes numériques de recherche de valeurs et vecteurs propres

  2. texte : méthode numérique de recherche de valeurs propres et vecteurs propres

Séance 20 : présentation de leçons outextes

  1. texte : le problème de Dirichlet

  2. texte : le modèle de Leslie


Enoncés de TD/TP:

A chaque séance correspondra un TD/TP à faire pour la semaine suivante et qui sera corrigé en classe.

TD/TP 1 : Interpolation de fonctions (énoncé)

TD//TP 2 : Résolution de systèmes non linéaires (énoncé)

TD//TP 3 : normes et conditionnement de matrices (énoncé)

TD//TP 4 : méthode de Gauss (énoncé)

TD//TP 5 : méthode de factorisation (énoncé)

TD//TP 6 : méthodes itérative (énoncé)

TD//TP 7 : recherche de valeurs propres (énoncé)

TD//TP 8 : calcul approché d'intégrales (énoncé)

TD//TP 9 : résolution approchée d'EDO, méthodes d'Euler (énoncé)

TD//TP 10 : résolution approchée d'EDO, consistance, stabilité, convergence, ordre (énoncé)


Textes de modélisation

Plusieurs textes de modélisation posés lors de sessions précédentes, seront particulièrement étudiés :

Texte 1  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leontieff (sujet)

Texte 2  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leslie (sujet, video)

Texte 3 (Algèbre linéaire) : la matrice de Google (sujet, video)

Texte 4  (équations différentielles) : réacteur biologique (sujet, script Scilab)

Texte 5 (Algèbre linéaire) : requête bibliographique (sujet, script Scilab)

Texte 6  (équations différentielles et optimisation) : poids en équilibre sur une corde (sujet, script Scilab)

Texte 7 (équations aux dérivées partielles) : transport de particules (sujet, script 1 Scilab, script 2 Scilab)

Texte 8 (équations aux dérivées partielles) : équation de la chaleur (sujet, script Scilab)

Texte 9 (équations aux dérivées partielles) : vibration d'une corde (sujet, script Scilab)




Bibliographie:

Un certain nombre d'ouvrages sont recommandés pour les différents thèmes abordés.

Les liens officiels suivants sont également à consulter :