Descriptif:Préparation Education Fellow UM6P
année 2020-2021
Modélisation
et Méthodes Numériques
Université
Mohammed VI Polytchnique
Laurent
Dumas (cours, TD et TP)
Archives : année 2019-2020
L'objetif de ce cours (comprenant des séance de TD et de TP) est de présenter les principes de modélisation en mathématique ainsi que les méthodes de résolution numérique associées.
Les séances se déroulent à distance et ont lieu
le mercredi de 9h à 12h15 (heure Marocaine)
Les séances auront lieu sur Microsoft Teams.
Tableau séance 15 (énoncé détaillé, corrigé détaillé, script 1 : tir, script 2 : différences finies)
Séance 1: interpolation polynomiale de fonctions
Interpolation de Lagrange. Définition
Algorithme des différences divisées
Erreur d'interpolation
Convergence du polynôme d'interpolation
Interpolation polynomiale par morceaux
Séance 2: résolution de systèmes non linéaires
Méthodes itératives
Méthode de Newton
Autres méthodes
Accélération de convergence
Séance 3 : Algèbre linéaire numérique : normes et conditionnement
Problème type en algèbre linéaire : la matrice du laplacien discret
Normes de matrices
Conditionnement d'une matrice
Séance 4 et 5 : Résolution de systèmes linéaires par une méthode directe
Introduction
Méthodes de Gauss
Factorisation LU
Séance 6 : Résolution de systèmes linéaires par une méthode itérative
Principe général
Méthodes de Jacobi et de Gauss Seidel
Autres méthodes
Séance 7 : Recherche numérique de valeurs propres et de vecteurs prpores
Introduction
Méthode de Jacobi
Méthode QR
Méthode de Givens
Méthode de la puissance et de la puissance inverse
Séance 8 : Minimisation d'une fonctionnelle quadratique
Définition. Premiers résultats
Algorithmes de minimisation du gradient
Algorithme du gradient conjugué
Séance 9 : Présentation de textes de modélisation en algèbre linéaire (Leontieff, Leslie, Google)
Séance 10 et 11 : méthodes de quadrature
Définition et propriétés générale
Méthodes composées
Méthodes de Gauss
Séances 12, 13 et 14 : résolution d'équations différentielles
Introduction et notations
Méthodes d'Euler
Méthodes à un pas
Consistance, stabilité, convergence, ordre : définitions
Consistance, stabilité, convergence, ordre : propriétés fondamentales
Méthodes de Runge Kutta
Séance 15 : étude d'un problème aux limites
Modélisation
Etude mathématique
Approximation numérique
Implémentation
Séance 16 : exemples de modélisation en lien avec les EDO (présentation par étudiants)
Le pendule
Trafic routier
Séance 17 : exemples de modélisation en lien avec les EDO (plus correction DS4)
Le réacteur biologique
Séance 18 : minimisation de fonctionnelles quadratiques sous contraintes linéaires
Séance 19 : travail collectif sur le texte : positionner un poids sur une corde
Séance 20 : travail collectif sur le texte : transport de particules
Séance 21 : travail collectif sur le texte : équation de la chaleur et homogénéisation
Séance 22 : travail collectif sur le texte : vibration d'une corde
Séance 23 : exemples de modélisation en lien avec les EDO et les EDP (présentation par étudiants)
1. Modélisation de l'encéphalopathie spongiforme
2. Dépollution d'un lac
Séance 24 : travail collectif sur les textes : requete bibliographique et compression d'images
Séance 25 : présentation de leçons d'oral d'analyse (suite récurrentes et séries de Fourier)
Séance 26 : présentation de leçons d'oral d'analyse (systèmes linéaires et transformation de Fourier)
Séance 27 : présentation d'une leçon d'oral modélisation (EDO) et d'un texte de modélisation (Dirichlet)
Séance 28 : présentation d'une leçon d'oral d'analyse (EDP) et d'oral de modélisation (systèmes linéaires)
Séance 29 : présentation des 6 leçons d'oral de modélisation
Vidéos
en ligne:
Un certain nombre de documents vidéos (cours enregistrés, vidéos de révision) seront mis en ligne sur ma chaîne youtube MAXIMATH (abonnez vous pour recevoir les notifications)
Vidéo résumé de cours, séance 1 (18')
Vidéo résumé de cours, séance 2 (20')
Documents
de cours:
La plupart des séances de cours seront également disponibles sous la forme de polys (inspirés de mon ouvrage pour l'Agrégation)
Séance 1 : interpolation polynomiale (poly de cours)
Séance 2 : résolution de systèmes non linéaires (poly de cours)
Enoncés
de TD:
A chaque séance correspondra un TD à faire pour la semaine suivante et qui sera corrigé en classe.
TD 1 : Interpolation de fonctions (énoncé)
TD 2: Systèmes non linéaires (énoncé)
TD3 : normes et conditionnement d'une matrice (énoncé)
TD4 : résolution de systèmes linéaires, méthodes directes, partie 1 (énoncé)
TD5 : résolution de systèmes linéaires, méthodes directes, partie 2 (énoncé)
TD6 : résolution de systèmes linéaires, méthodes itératives (énoncé)
TD7 : recherche de valeurs propres (énoncé)
TD8 : méthodes de quadrature, méthodes composées (énoncé)
TD9 : méthodes de quadrature, méthodes de Gauss (énoncé)
TD10 : équations différentielles, méthode d'Euler (énoncé)
TD11 : équations différentielles, consistance, stabilité, convergence, ordre (énoncé)
TD12 : équations différentielles, méthodes de Runge Kutta (énoncé)
TD13 : minimisation d'une fonctionnelle quadratique avec contrainte (énoncé)
Enoncés
de TP:
Un certain nombre de TP sont également proposés et à réaliser en autonomie.
TP 1 : Interpolation polynomiale (énoncé)
TP 2 : Systèmes non linéaires (énoncé)
TP 3 : Systèmes linéaires, méthodes directes (énoncé)
TP4 : Minimisation de fonctionnelles quadratiques (énoncé)
Programmes:
Les correction des TP sont faites avec le langage Scilab mais peuvent être facilement transposées dans un autre langage (Python, Matlab).
TP1 : interpolation de Lagrange (script Scilab), interpolation par splines (script Scilab)
TP3 : résolution de systèmes linéaires (script Scilab)
TP4 : Minimisation de fonctionnelles quadratiques ( scipt Scilab et vidéo)
Textes
de modélisation
Plusieurs textes de modélisation posés lors de sessions précédentes, seront particulièrement étudiés :
Texte 1 (interpolation et approximation) : le krigeage (sujet, script Scilab)
Texte 2 (Calcul différentiel et optimisation) : un état d'équilibre en chimie (sujet, script Scilab)
Texte 3 (Algèbre linéaire) : le modèle de Leontieff (sujet)
Texte 4 (Algèbre linéaire) : le modèle de Leslie (sujet)
Texte 5 (Algèbre linéaire) : la matrice de Google (sujet)
Texte 6 (Algèbre linéaire) : requête bibliographique (sujet, script Scilab)
Texte 7 (équations différentielles) : dynamique de populations (sujet)
Texte 8 (équations différentielles) : trafic routier (sujet)
Texte 9 (équations différentielles) : réacteur biologique (sujet, script)
Texte 10 (équations différentielles) : globules rouges (sujet)
Texte 11 (équations différentielles) : systèmes hamiltoniens (sujet)
Texte 12 (équations différentielles) : dépollution d'un lac (sujet)
Texte 13 (équations différentielles) : modélisation de l'encéphalopathie spongiforme (sujet)
Texte 14 (équations différentielles) : pendule pesant (sujet)
Texte 15 (équations différentielles et optimisation) : la corde (sujet, script Scilab)
Texte 16 (équations aux dérivées partielles) : transport de particules (sujet, script 1 Scilab, script 2 Scilab)
Texte 17 (équations aux dérivées partielles) : équation de la chaleur (sujet, script Scilab)
Texte 18 (équations aux dérivées partielles) : vibration d'une corde (sujet, script Scilab)
Bibliographie:
Un certain nombre d'ouvrages sont recommandés pour les différents thèmes abordés.
Laurent Dumas : Modélisation à l’oral de l’agrégation de mathématiques, calcul scientifique, Ellipses, 1999.
P.G. Ciarlet : Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle, 5ème édition, Dunod, 2007.
Michelle Schatzman : Analyse Numérique, une Approche Mathématique, 2ème édition, Dunod, 2004.
Francis Filbet :Analyse Numérique, Dunod 2009.
Jean Pierre Demailly : Analyse Numérique et Equations Différentielles, EDP sciences, 2016.
Florence Hubert, John Hubbard : calcul scientifique, de la théorie à la pratique, tome 1 et 2, Vuibert, 2006.
Les liens officiels suivants sont également à consulter :