Préparation Education Fellow UM6P
année 2023-2024
Modélisation et Méthodes Numériques
Algèbre linéaire
Calcul différentiel
Université Mohammed VI
Polytechnique
Laurent Dumas (cours, TD
et TP)
Archives : année 2019-2020, année2020-2021 année2021-2022 année2022-2023
L'objetif de ce cours (comprenant des séances complémentaires de TD et de TP à effectuer en autonomie) est de présenter :
1. les principes de modélisation mathématique ainsi que les méthodes de résolution numérique associées
2. le programme d'écrit en algèbre linéaire
3. le programme d'écrit relatif au calcul différentiel et aux équations différentielles
Contenu:
Séance 1 algèbre linéaire : tableau numérique
1. Espaces vectoriels
2. Morphismes
3. Bases
Séance 2 interpolation de Lagrange : tableau numérique
1. Existence et unicité du PIL
2. Algorithme de construction
3 Implémentation Python
4. Compléments mayhématiques
Séance 3 algèbre linéaire : tableau numérique
1. Matrices
2. Rang et trace
3. Déterminant
4. Comatrice et méthode de Cramer
Séance 4 résolution de systèmes linéaires par Gauss : tableau numérique
1. Description de la méthode
2. Justification mathématique
3. Coût et robustesse
4. Implémentation Python
5. Notion de conditionnement
Séance 5 résolution de systèmes linéaires, méthodes de factorisation : tableau numérique
1. Factorisation LU
2. Factorisation de Cholesky
3. Factorisation QR
Séance 6 tableau numérique,
1. Méthodes itératives. Théorèmes de Picard
2. Méthode de Newton
3. Autres méthodes
Séance 7 bases du calcul différentiel tableau numérique
1. Différentiabilité
2. Cas de la dimension finie
3. Théorème des accroissements finis
4. Régularité, fonctions C^k
5. Formules de Taylor
6. Conditions d'optimalité
7. Fonctions convexes
Séance 8 calcul différentiel, compléments tableau numérique
1. Exercices
2. Théorème d'inversion locale
3. Théorème des fonctions implicites
Séance 9 résolution de systèmes linéaires, méthodes itératives tableau numérique
1. Normes de matrices, rayon spectral
2. Principe général des méthodes itératives
3. Méthodes de Jacobi et Gauss Seidel
4. Autres méthodes
Séance 10 algèbre linéaire, réduction d'endomorphismes tableau numérique
1. Définitions et premières propriétés
2. Premiers critères de réduction
3. Polynômes d'endomorphismes
4. Théorème de Cayley Hamilton
5. Nouveaux critères de diagonalisabilité
Séance 11 équations différentielles : théorie tableau numérique
1. Existence et unicité, espace des solutions
2. Etudes de certains cas particuliers
Séance 12a équations différentielles linéaires: théorie tableau numérique
1. Lemme de Gronwall et conséquences
2. Un résultat d'existence et d'unicité locale
3. Le théorème de Cauchy Lipschitz
4. Cas particulier des systèmes dynamiques
Séance 12b notions de géométrie différentielle tableau numérique
1. Sous variétés : définitions équivalentes
2. Espace tangent
3. Extrema liés
Séance 13 décomposition de Dunford et applications tableau numérique
1. Espaces caractéristiques
2. Projecteurs spectraux
3. Décomposition de Dunford
4. Décomposition de Jordan
5. Applications
Séances 14, 15 recherche numérique d'éléments propres
tableau similaire, complément Leslie
Séances 15, 16: calcul approché d'intégrales
Séances 17, 18: résolution numérique d'EDO
tableau similaire 1 tableau similaire 2
Séance 19 : exercices de calcul différentiel (IL et FI) tableau numérique
Séance 20 : exercices autour de 2 théorèmes (Picard et CL) tableau numérique
Séances 21, 22 : résolution d'EDO avec conditions aux limites
Séances 23, 24 : révisions EDO linéaires
Séances 25, 26 : révisions algèbre linéaire
Séance 27
Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents (Sokaina)
Modèlisation mathématique de dépollution de lac (Alham)
Séance 28
Equations différentielles linéaires. Systèmes d'EDO linéaires. Exemples et applications (Mohand)
Analyse mathématique du phénomène de conduction thermique dans une barre métallique (Ilyass)
Séance 29
Endomorphismes diagonalisables en dimension fini (Said)
Interpolation et krigeage (Mohammed)
Séance 30
Exponentielle de matrices. Exemples et Applications (Abderrhamane)
Modélisation de l’impact de la publicité sur une population de consommateurs (Said)
Séance 31
Problème de côntrole et transfert de chaleur dans un tube (Mohand)
Optimisation de réseaux d'antennes (Alham)
Séance 32, 33
Stratégie de gestion de portefeuilles (Said)
Evolution du front consommé d'une flamme (Abderrhamane)
Séance 34, 35
Modélisation d'une chaine d'ADN (Mohand)
Modèle de transport diffusion réaction d’anticorps dans une tumeur (Ilyass)
Séance 36, 37
Matrices équivalentes. Matrices semblables. Exemples et applications. (Mohammed)
Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques (Zouhir)
Enoncés
de TD/TP:
A chaque séance correspondra un TD/TP à faire pour la semaine suivante et qui sera corrigé en classe.
TD 1 : algèbre linéaire et interpolation
TD 2 : résolution de systèmes linéaires
TD 3 : résolution de systèmes linéaires : méthodes de factorisation
TD 4 : résolution de systèmes non linéaires
TD 5 : calcul différentiel
TD 6 : résolution de systèmes linéaires (méthodes itératives)
TD 7 : algèbre linéaire (extrait sujet écrit)
TD 8: méthodes de quadrature (énoncé, correction Ex.
1,2,3, correction
Ex. 4,5,6 correction vidéo partie 1, correction vidéo partie 2)
TD 9 :
méthodes d 'Euler: énoncé ,correction
TD 10 :
méthodes générales à un pas: énoncé, correction
TD 11 :
résolution d'EDO avec conditions aux limites (énoncé)
TD 12 : révisions en algèbre linéaire (énoncé)
Scripts Python:
Script 1 : interpolation de Lagrange
Script 2 : méthode du pivot de Gauss
Script 3 : méthode de Newton
Script 4 : méthodes de Jacobi et Gauss Seidel
Script 5 : méthode de Jacobi (recheche de valeurs propres)
Script 6 : méthodes de quadrature
Script 7 : méthode d'Euler
Polys de cours (issus de mon livre):
poly de cours systèmes non linéaires
poly de cours algèbre linéaire
poly de cours quadrature et EDO
Textes de modélisation
Plusieurs textes de modélisation posés lors de sessions précédentes, seront particulièrement étudiés :
Texte 1 (Algèbre linéaire) : le modèle de Leontieff (sujet, video)
Texte 2 (Algèbre linéaire) : le modèle de Leslie (sujet, video, script niveau 1, script niveau 2, script niveau 3)
Texte 3 (Algèbre linéaire) : la matrice de Google (sujet, video)
Texte 4 (Algèbre linéaire) : requête bibliographique (sujet, video)
Texte 5 (sysètmes non linéaires) : le GPS (sujet, video)
Texte 6 (calcul différentiel et optimisation) : un état d'équilibre en chimie (sujet, script Python)
Texte 7 (EDO) : modèle de Volterra (sujet, script Python)
Texte 8 (EDO) :poids suspendu à une corde (sujet, script niveau 1, script niveau 3, video)
Texte 9 (EDO) :résonance d'un pendule (sujet, script niveau 3)
Texte 10 (Algèbre
linéaire) :compression d'un signal par SVD (sujet)
Bibliographie:
Un certain nombre d'ouvrages sont recommandés pour les différents thèmes abordés.
· Laurent Dumas : Modélisation à l’oral de l’agrégation de mathématiques, calcul scientifique, Ellipses, 1999.
· P.G. Ciarlet : Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle, 5ème édition, Dunod, 2007.
· Michelle Schatzman : Analyse Numérique, une Approche Mathématique, 2ème édition, Dunod, 2004.
· Francis Filbet :Analyse Numérique, Dunod 2009.
· Jean Pierre Demailly : Analyse Numérique et Equations Différentielles, EDP sciences, 2016.
· Florence Hubert, John Hubbard : calcul scientifique, de la théorie à la pratique, tome 1 et 2, Vuibert, 2006.
· Benjamin Boutin : notes de cours
· Alexis Tchoudjem : notes de cours
Les liens officiels suivants sont également à consulter :
· Liste des textes pour la session 2024 au Maroc