Préparation Education Fellow UM6P

année 2022-2023

Modélisation et Méthodes Numériques

Algèbre linéaire

Equations différentielles

Université Mohammed VI Polytechnique

Laurent Dumas (cours, TD et TP)

Archives : année 2019-2020, année2020-2021 année2021-2022

Descriptif:

L'objetif de ce cours (comprenant des séances complémentaires de TD et de TP à effectuer en autonomie) est de présenter :


  1. les principes de modélisation mathématique ainsi que les méthodes de résolution numérique associées

  2. le programme d'écrit en algèbre linéaire

  3. le programme d'écrit relatif aux équations différentielles


Contenu:


Tableau numérique séance 1  (plus poly de cours interpolation)

Tableau numérique séance 2  (plus poly de cours systèmes non linéaires)

Tableau numérique séance 3

Tableau numérique séance 10

Tableau numérique séance 11 et 12

Tableau numérique séance 13

Tableau numérique séance 14 (plus poly de cours algèbre linénire)

Tableau numérique séances 15 et 16 (cours en présentiel)

Tableau numérique séances 19 et 20 (cours en présentiel)

Tableau numérique séance 21

Tableau numérique séance 22  (plus poly de cours EDO)

Tableau numérique séance 23a

Tableau numérique séance 23b

Tableau numérique séance 24

Tableau numérique séance 25

Tableau numérique séance 26 et 27

Tableau numérique séance 28


Séance 1 (distanciel, 16/09): interpolation polynomiale de fonctions

    1. Interpolation de Lagrange. Définition

    2. Algorithme des différences divisées

    3. Erreur d'interpolation

    4. Autres méthodes

Séance 2 (distanciel): résolution de systèmes non linéaires

    1. Méthodes itératives

    2. Méthode de Newton

    3. Autres méthodes

Séance 3 (distanciel): algèbre linéaire

    1. Espaces vectoriels

    2. Applications linéaires

    3. Bases, dimension

    4. Matrices

    5. Déterminant

Séance 4 et 5 (présentiel): algèbre linéaire : résolution de systèmes linéaires

    1. Méthode de Cramer

    2. Méthode de Gauss

    3. Factorisation LU

    4. Factorisation de Cholesky

    5. Factorisation QR

Séance 6 et 7 (présentiel): algèbre linéaire : réduction de matrices

    1. Vecteurs propres, valeurs propres

    2. Polynôme caractéristique

    3. Espaces propres

    4. Une première CNS de diagonalisabilité

    5. Trigonalisation

    6. Polynôme de matrices

    7. Cayley Hamilton

    8. Polynômes annulateurs et polynôme minimal

    9. Une seconde CNS de diagonalisabilité

Séance 8 et 9 (présentiel): algèbre linéaire : modélisation, aspects numériques, et programmation Python

    1. Vecteurs propres, valeurs propres

    2. Polynôme caractéristique

    3. Espaces propres

Séance 10 (distanciel): normes de matrices conditionnement

    1. Normes de matrices

    2. Conditionnement

    3. Quelques exemples de normes

Séance 11 (distanciel): méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires

    1. Principe général

    2. Méthodes de Jacobi et Gauss Seidel

Séance 12 (distanciel): méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires

    3. Autres méthodes (+ TP Python)

Séance 13 (distanciel): algèbre linéaire : décomposition de Dunford et applications

    1. Sous espaces caractéristiques

    2. Projecteurs spectraux

    3. Décomposition de Dunford-Jordan

    4. Forme réduite de Jordan

    5. Applications

Séance 14 (distanciel): recherche numérique de valeurs propres et vecteurs propres

    1. Conditionnement

    2. Méthode de Jacobi

    3. Méthode QR

    4. Méthode de Givens Householder

    5. Méthode de la puissance (script Python)


Séance 15 et 16: calcul approché d'intégrales (script Python)


Séance 17 et 18 : équations différentielles: résultats théoriques


Séance 19 et 20: équations différentielles: méthodes numériques (script Python Euler et script Python pendule)


Séance 21 (distanciel): équations différentielles: consistance , stabilité, convergence, ordre

  1. Rappels et notations

  2. Définition des 4 notions

  3. Propriétés de la fonction Phi associées

  4. Améliorations de la méthode d'Euler


Séance 22 (distanciel): équations différentielles: méthodes de Runge-Kutta

    1. Description des méthodes de Runge Kutta

    2. Propriétés

    3. Implémentation (script Python biogaz)


Séance 23a (distanciel): équations différentielles linéaires

    1. Généralités. Théorème fondamental

    2. Cas particuliers

    3. Notion de résolvante


Séance 23b (distanciel): complément en algèbre linéaire

    1. Problème de moindres carrés

    2. Décomposition en valeurs singulières


Séances 24 et 25 : résolution d'EDO avec conditions aux limites : la corde à l'équilibre (script Python 1) (script Python 2)


Séances 26 et 27 : un exemple de résolution d'une EDP : vibrations d'une corde (script Python)


Séances 28 et 29 : Révisions écrit et consignes de préparation des leçons d'oral


Séances 30 et 31 : oral blanc : 2 textes, 2 leçnos


Séances 32 et 33 : oral blanc : 3 textes, 1 leçon


Séances 34 et 35 : oral blanc:4 textes


Séances 36 (ditanciel) : oral blanc:2 textes


Séances 37 (distanciel) : oral blanc:2 textes


Séances 38 (distanciel) : oral blanc:2 textes


Enoncés de TD/TP:

A chaque séance correspondra un TD/TP à faire pour la semaine suivante et qui sera corrigé en classe.

TD/TP 1 : Interpolation de fonctions (énoncé, script Jupyter)

TD//TP 2 : Résolution de systèmes non linéaires (énoncé, script Jupyter)

TD 3 : Résolution de systèmes linéaires (énoncé)

TD4 : algèbre linéaire en dimension infinie : Sujet X/ENS 2014

TD5 : la matrice du laplacien discrétisé : Sujet X/ENS 2018 script Jupyter 1 (remontée Gauss) et script Jupyter 2 (Cholesky)

TD6 : normes de matrices, conditionnement : énoncé

TD7 : résolution de systèmes linéaires, méthodes itératives : énoncé

TD 8: méthodes de quadrature (énoncé, correction Ex. 1,2,3, correction Ex. 4,5,6 correction vidéo partie 1, correction vidéo partie 2)

TD 8 bis: polynômes orthogonaux (énoncé)

TD9 : équations différentielles, méthode d'Euler (énoncé)

TD 10 : équations différentielles, consistance, stabilité, convergence, ordre (énoncé)

TD 11 : révisions EDO et algèbre linéaire (énoncé corrigé détaillé)


Textes de modélisation

Plusieurs textes de modélisation posés lors de sessions précédentes, seront particulièrement étudiés :

Texte 1  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leontieff (sujet, video)

Texte 2  (Algèbre linéaire) : le modèle de Leslie (sujet, video)

Texte 3 (Algèbre linéaire) : la matrice de Google (sujet, video)

Texte 4 (Algèbre linéaire) : requête bibliographique (sujet, video)

Texte 5 (équations différentielles) : un modèle de chaine ADN (sujet)

Texte 6 (équations différentielles) : dépollution d'un lac (sujet)

Texte 7 (équations différentielles) : un modèle de biogaz (sujet, video)

Texte 8  (équations différentielles et optimisation) : poids en équilibre sur une corde (sujet)

Texte 9 (équations aux dérivées partielles) : vibration d'une corde (sujet)

Texte 10 (équations aux dérivées partielles) : transport de particules (sujet)

Texte 11 (équations aux dérivées partielles) : équation de la chaleur (sujet)


Bibliographie:

Un certain nombre d'ouvrages sont recommandés pour les différents thèmes abordés.

Les liens officiels suivants sont également à consulter :